Реферат. Аксиоматика, непротиворечивость модель пуанкаре геометрии Лобачевского. 2011

СОДЕРЖАНИЕ

1. Аксиоматика геометрии Лобачевского    2
2. Непротиворечивость геометрии Лобачевского    8
3. Модель Пуанкаре геометрии Лобачевского    11
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ    16


1. Аксиоматика геометрии Лобачевского
Геометрия Лобачевского (гиперболическая геометрия) - одна из неевклидовых геометрий, геометрическая теория, основанная на тех же основных посылках, что и обычная евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных, которая заменяется на аксиому о параллельных Лобачевского.
Евклидова аксиома о параллельных (точнее, одно из эквивалентных ей утверждений) гласит:
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит не более одной прямой, лежащей с данной прямой в одной плоскости и не пересекающей её.
В геометрии Лобачевского, вместо неё принимается следующая аксиома:
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её.
Широко распространено заблуждение, что в геометрии Лобачевского параллельные прямые пересекаются. Геометрия Лобачевского имеет обширные применения как в математике, так и в физике. Историческое её значение состоит в том, что её построением Лобачевский показал возможность геометрии, отличной от евклидовой, что знаменовало новую эпоху в развитии геометрии, математики и науки вообще.
Модель планиметрии Лобачевского на евклидовой плоскости была построена французским математиком Анри Пуанкаре в 1882 г.
На евклидовой плоскости проведём горизонтальную прямую. Эта прямая называется абсолютом (x). Точки евклидовой плоскости, лежащие выше абсолюта, являются точками плоскости Лобачевского. Плоскостью Лобачевского называется открытая полуплоскость, лежащая выше абсолюта. Неевклидовы отрезки в модели Пуанкаре - это дуги окружностей с центром на абсолюте или отрезки прямых, перпендикулярных абсолюту (AB, CD). Фигура на плоскости Лобачевского - фигура открытой полуплоскости, лежащей выше абсолюта (F). Неевклидово движение является композицией конечного числа инверсий с центром на абсолюте и осевых симметрий, оси которых перпендикулярны абсолюту. Два неевклидовых отрезка равны, если один из них неевклидовым движением можно перевести в другой. Таковы основные понятия аксиоматики планиметрии Лобачевского.
Все аксиомы планиметрии Лобачевского непротиворечивы.
Определение прямой следующее : "Неевклидова прямая – это полуокружность с концами на абсолюте или луч с началом на абсолюте и перпендикулярный абсолюту". Таким образом, утверждение аксиомы параллельности Лобачевского выполняется не только для некоторой прямой a и точки A, не лежащей на этой прямой, но и для любой прямой a и любой не лежащей на ней точки A.
За геометрией Лобачевского возникли и другие непротиворечивые геометрии: от евклидовой отделилась проективная геометрия, сложилась многомерная евклидова геометрия, возникла риманова геометрия (общая теория пространств с произвольным законом измерения длин) и др. Из науки о фигурах в одном трёхмерном евклидовом пространстве геометрия за 40 - 50 лет превратилась в совокупность разнообразных теорий, лишь в чём-то сходных со своей прародительницей - геометрией Евклида.
Отправным пунктом геометрии Лобачевского послужил V постулат Евклида - аксиома, эквивалентная аксиоме о параллельных. Он входил в список постулатов в «Началах» Евклида. Относительная сложность и неинтуитивность его формулировки вызывала ощущение его вторичности и порождала попытки вывести его как теорему из остальных постулатов Евклида.
Среди пытавшихся доказать были следующие учёные: древнегреческие математики Птолемей (II в.), Прокл (V в.) (основывался на предположении о конечности расстояния между двумя параллельными), Ибн аль-Хайсам из Ирака (конец X - начало XI вв.) (основывался на предположении, что конец движущегося перпендикуляра к прямой описывает прямую линию), иранские математики Омар Хайям (2-я половина XI - начало XII вв.) и Насир ад-Дин ат-Туси (XIII в.) (основывались на предположении, что две сходящиеся прямые не могут при продолжении стать расходящимися без пересечения), немецкий математик Клавиус (1574), итальянские математики Катальди (впервые в 1603 году напечатал работу, целиком посвященную вопросу о параллельных), Борелли (1658), Дж. Витале (1680), английский математик Валлис (1663, опубликовано в 1693) (основывался на предположении, что для всякой фигуры существует ей подобная, но не равная фигура), французский математик Лежандр (1800) (основывался на допущении, что через каждую точку внутри острого угла можно провести прямую, пересекающую обе стороны угла; у него также были другие попытки доказательства).
При этих попытках доказательства пятого постулата математики вводили некоторое новое утверждение, казавшееся им более очевидным. Были предприняты попытки использовать доказательство от противного:
итальянский математик Саккери (1733) (сформулировав противоречащее постулату утверждение, он вывел ряд следствий и, ошибочно признав часть из них противоречивыми, он счёл постулат доказанным),
немецкий математик Ламберт (около 1766, опубликовано в 1786) (проведя исследования, он признал, что не смог обнаружить в построенной им системе противоречия).
Наконец, стало возникать понимание о том, что возможно построение теории, основанной на противоположном постулате:
немецкие математики Швейкарт (1818) и Тауринус (1825) (однако они не осознали, что такая теория будет логически столь же стройной).
Лобачевский в работе «О началах геометрии» (1829), первой его печатной работе по неевклидовой геометрии, ясно заявил, что V постулат не может быть доказан на основе других посылок евклидовой геометрии, и что допущение постулата, противоположного постулату Евклида, позволяет построить геометрию столь же содержательную, как и евклидова, и свободную от противоречий.
Одновременно и независимо к аналогичным выводам пришёл Янош Бойяи, а Карл Фридрих Гаусс пришёл к таким выводам ещё раньше. Однако труды Бойяи не привлекли внимания, и он вскоре оставил эту тему, а Гаусс вообще воздерживался от публикаций, и о его взглядах можно судить лишь по нескольким письмам и дневниковым записям. Например, в письме 1846 года астроному Г. Х. Шумахеру Гаусс так отозвался о работе Лобачевского:
Это сочинение содержит в себе основания той геометрии, которая должна была бы иметь место и притом составляла бы строго последовательное целое, если бы евклидова геометрия не была бы истинной… Лобачевский называет ее «воображаемой геометрией»; Вы знаете, что уже 54 года (с 1792 г.) я разделяю те же взгляды с некоторым развитием их, о котором не хочу здесь упоминать; таким образом, я не нашёл для себя в сочинении Лобачевского ничего фактически нового. Но в развитии предмета автор следовал не по тому пути, по которому шёл я сам; оно выполнено Лобачевским мастерски в истинно геометрическом духе. Я считаю себя обязанным обратить Ваше внимание на это сочинение, которое, наверное, доставит Вам совершенно исключительное наслаждение.
В итоге Лобачевский выступил как первый наиболее яркий и последовательный пропагандист этой теории. Хотя геометрия Лобачевского развивалась как умозрительная теория, и сам Лобачевский называл её «воображаемой геометрией», тем не менее именно Лобачевский рассматривал её не как игру ума, а как возможную теорию пространственных отношений. Однако доказательство её непротиворечивости было дано позже, когда были указаны её интерпретации и тем полностью решён вопрос о её реальном смысле, логической непротиворечивости.
Лобачевский строил свою геометрию, отправляясь от основных геометрических понятий и своей аксиомы, и доказывал теоремы геометрическим методом, подобно тому, как это делается в геометрии Евклида. Основой служила теория параллельных линий, так как именно здесь начинается отличие геометрии Лобачевского от геометрии Евклида. Все теоремы, не зависящие от аксиомы о параллельных, являются общими для обеих геометрий; они образуют так называемую абсолютную геометрию, к которой относятся, например, теоремы о равенстве треугольников. Вслед за теорией параллельных строились другие разделы, включая тригонометрию и начала аналитической и дифференциальной геометрии.
Приведём (в современных обозначениях) несколько аксиом геометрии Лобачевского, отличающих её от геометрии Евклида и установленных самим Лобачевским.
Через точку P, не лежащую на данной прямой R (см. рисунок), проходит бесконечно много прямых, не пересекающих R и находящихся с ней в одной плоскости; среди них есть две крайние x, y, которые и называются параллельными прямой R в смысле Лобачевского. В моделях Клейна (Пуанкаре) они изображаются хордами (дугами окружностей), имеющими с хордой (дугой) R общий конец (который по определению модели исключается, так что эти прямые не имеют общих точек).
Угол θ между перпендикуляром PB из P на R и каждой из параллельных (называемый углом параллельности) по мере удаления точки P от прямой убывает от 90° до 0° (в модели Пуанкаре углы в обычном смысле совпадают с углами в смысле Лобачевского, и потому на ней этот факт можно видеть непосредственно). Параллель x с одной стороны (а y с противоположной) асимптотически приближается к а, а с другой - бесконечно от неё удаляется (в моделях расстояния определяются сложно, и потому этот факт непосредственно не виден).
Для точки, находящейся от заданной прямой на расстоянии PB = a (см. рисунок), Лобачевский дал формулу для угла параллельности П(a):

Здесь q - некоторая постоянная, связанная с кривизной пространства Лобачевского. Она может служить абсолютной единицей длины аналогично тому, как в сферической геометрии особое положение занимает радиус сферы.
Если прямые имеют общий перпендикуляр, то они бесконечно расходятся в обе стороны от него. К любой из них можно восстановить перпендикуляры, которые не достигают другой прямой.
В геометрии Лобачевского не существует подобных, но неравных треугольников; треугольники равны, если их углы равны.
Сумма углов всякого треугольника меньше π и может быть сколь угодно близкой к нулю. Это непосредственно видно на модели Пуанкаре. Разность δ = π − (α + β + γ), где α, β, γ - углы треугольника, пропорциональна его площади:

Из формулы видно, что существует максимальная площадь треугольника, и это конечное число: πq2.
Линия равных расстояний от прямой не есть прямая, а особая кривая, называемая эквидистантой, или гиперциклом.
Предел окружностей бесконечно увеличивающегося радиуса не есть прямая, а особая кривая, называемая предельной окружностью, или орициклом.
Предел сфер бесконечно увеличивающегося радиуса не есть плоскость, а особая поверхность - предельная сфера, или орисфера; замечательно, что на ней имеет место евклидова геометрия. Это служило Лобачевскому основой для вывода формул тригонометрии.
Длина окружности не пропорциональна радиусу, а растёт быстрее. В частности, в геометрии Лобачевского число π не может быть определено как отношение длины окружности к её диаметру.
Чем меньше область в пространстве или на плоскости Лобачевского, тем меньше геометрические соотношения в этой области отличаются от соотношений евклидовой геометрии. Можно сказать, что в бесконечно малой области имеет место евклидова геометрия. Например, чем меньше треугольник, тем меньше сумма его углов отличается от π; чем меньше окружность, тем меньше отношение её длины к радиусу отличается от 2π, и т. п. Уменьшение области формально равносильно увеличению единицы длины, поэтому при безграничном увеличении единицы длины формулы геометрии Лобачевского переходят в формулы евклидовой геометрии. Евклидова геометрия есть в этом смысле «предельный» случай геометрии Лобачевского.

2. Непротиворечивость геометрии Лобачевского
Выведя уже в своей первой работе “О началах геометрии” формулы тригонометрии своей новой системы, Лобачевский заметил, что “эти уравнения переменяются в… (уравнения) сферической Тригонометрии, как скоро вместо боков a, b, c ставим в  ,  ,  , но в обыкновенной Геометрии и сферической Тригонометрии везде входят одни содержания (т. е. отношения) линий: следовательно, обыкновенная Геометрия, Тригонометрия и эта новая геометрия всегда будут согласованы между собой”. Это означает, что если мы запишем теорему косинусов, теорему синусов и двойственную теорему косинусов сферической тригонометрии для сферы радиуса r в виде


то формулы тригонометрии Лобачевского можно записать в том же виде, заменив стороны a, b, c треугольника произведениями ai, bi, ci; так как умножение сторон a, b, c на i равносильно умножению на i радиуса сферы, то, полагая r=qi и воспользовавшись известными соотношениями
cos(ix) = ch x, sin(ix) = i sh x,
мы можем переписать соответственные формулы тригонометрии Лобачевского в виде
,


Сам Лобачевский пользовался не функциями ch x и sh x, а комбинациями введенной им функции  с тригонометрическими функциями; постоянная q в этих формулах – та же, что и в формулах (1) и (2).
Фактически Лобачевский доказал непротиворечивость своей системы тем, что ввел как на плоскости, так и в пространстве координаты и таким образом построил арифметическую модель плоскости и пространства Лобачевского. Однако сам Лобачевский видел свидетельство непротиворечивости открытой им геометрии в указанной связи формул его тригонометрии с формулами сферической тригонометрии. Этот вывод Лобачевского неправомерен. В своем мемуаре он доказал, что формулы сферической тригонометрии вытекают из его геометрии, между тем, чтобы утверждать, что из непротиворечивости тригонометрических формул вытекает непротиворечивость геометрии Лобачевского, надо было бы доказать, что все предложения последней можно вывести из ее тригонометрических формул и “абсолютной геометрии” - предложений, не зависящих от пятого постулата. Лобачевский попытался провести такое доказательство, но в его рассуждения вкралась ошибка.
Непротиворечивость:
Определение. Система аксиом называется непротиворечивой или совместной, если в этой теории невозможно доказать какое-нибудь предложение А и его отрицание  . В противном случае система аксиом называется противоречивой.
В противоречивой аксиоматике можно доказать любое высказывание, выраженное в терминах рассматриваемой теории. Определение. Всякий набор конкретных множеств и отношений между их элементами, удовлетворяющих всем требованиям системы аксиом аксиоматической теории, называется моделью (интерпретацией) данной системы аксиом.
Определение. Пусть система аксиом некоторой теории допускает построение двух моделей. Модели называются изоморфными, если между элементами основных множеств данных моделей можно установить взаимно однозначное соответствие, при котором соответствующие элементы находятся в одинаковых взаимных отношениях.
Существуют системы аксиом, которые имеют бесконечное множество неизоморфных друг другу моделей.
Противоречивая система аксиом не допускает никакой модели, таким образом ни одно из отношений p, описываемых данной системой аксиом, не может выражать в модели одновременно предложения А и  .
Материалом для построения моделей служит ранее известная математическая теория или система (старая система): каждому основному понятию проверяемой аксиоматики приписываем смысл в терминах старой системы, то есть создаём словарь интерпретаций, тогда каждое определяемое понятие новой системы также получит смысл в терминах старой системы, и все предложения новой системы обратятся в некоторые предложения на языке старой системы.
Модель (или интерпретация) считается построенной, если все аксиомы новой проверяемой аксиоматики обращаются в истинные предложения старой системы.
Таким образом, если для данных аксиом можно построить модель, то данная система аксиом непротиворечива.
Евклидова геометрия возникла как отражение фактов действительности. Её обычная интерпретация, в которой прямыми считаются натянутые нити, движением - механическое перемещение и т.д., предшествует геометрии как математической теории. Вопрос о других интерпретациях не ставился и не мог быть поставлен, пока не выявилось более абстрактное понимание геометрии. Лобачевский создал неевклидову геометрию как возможную геометрию, и тогда возник вопрос о её реальном истолковании. Эта задача была решена в 1868 Э. Бельтрами, который заметил, что геометрия Лобачевского совпадает с внутренней геометрией поверхностей постоянной отрицательной кривизны, т. е. теоремы геометрии Лобачевского описывают геометрические факты на таких поверхностях (при этом роль прямых выполняют геодезические линии, а роль движений - изгибания поверхности на себя). Поскольку вместе с тем такая поверхность есть объект евклидовой геометрией, оказалось, что геометрия Лобачевского истолковывается в понятиях геометрии Евклида. Тем самым была доказана непротиворечивость геометрии Лобачевского, т.к. противоречие в ней в силу указанного истолкования влекло бы противоречие в геометрии Евклида.

3. Модель Пуанкаре геометрии Лобачевского
Конформно-евклидова модель Пуанкаре (иногда называется диск Пуанкаре) - модель пространства Лобачевского, предложенная Анри Пуанкаре в 1882 году в связи с задачами теории функций комплексного переменного. Существуют разновидности модели - в круге и на полуплоскости для планиметрии Лобачевского, а также в шаре и в полупространстве - для стереометрии Лобачевского, соответственно.
Модель Пуанкаре примечательна тем, что в ней углы изображаются обычными углами (то есть модель Пуанкаре конформна) в отличие от модели Клейна, в которой определение углов производится гораздо сложнее.
Модель Пуанкаре в круге
В модели Пуанкаре в круге за плоскость Лобачевского принимается внутренность круга (изображено на иллюстрации) в евклидовом пространстве; граница данного круга (окружность) называется «абсолютом». Роль прямых выполняют содержащиеся в этом круге дуги окружностей  , перпендикулярных абсолюту, и его диаметры; роль движений - преобразования, получаемые комбинациями инверсий относительно окружностей, дуги которых служат прямыми.
Метрикой ds плоскости Лобачевского в модели Пуанкаре в единичном круге является:  , где x и y - оси абcцисс и ординат, соответственно.
Аналогично, в модели Пуанкаре в шаре роль абсолюта выполняет граничная сфера в трёхмерном евклидовом пространстве, а пространством Лобачевского является внутренность шара.
Модели Пуанкаре на полуплоскости и в полупространстве
В модели Пуанкаре на полуплоскости за плоскость Лобачевского принимается верхняя полуплоскость. Прямая, ограничивающая полуплоскость (то есть ось абcцисс), называется «абсолютом». Роль прямых выполняют содержащиеся в этой полуплоскости полуокружности с центрами на абсолюте и начинающиеся на абсолюте перпендикулярные ему лучи (то есть вертикальные лучи). Роль движений - преобразования, получаемые композицией конечного числа инверсий с центром на абсолюте и осевых симметрий, оси которых перпендикулярны абсолюту.
Метрика ds плоскости Лобачевского в модели Пуанкаре в верхней полуплоскости имеет вид:  .
Соответственно, в модели Пуанкаре в полупространстве роль абсолюта выполняет плоскость в трёхмерном евклидовом пространстве, а пространством Лобачевского является лежащее на этой плоскости полупространство.
Роль плоскости Лобачевского играет открытая полуплоскость; роль прямых выполняют содержащиеся в ней полуокружности с центрами на ограничивающей ее прямой и лучи, пер¬пендикулярные этой прямой. Роль наложений выполняют композиции инверсий относительно этих полуокружностей и отражений в лучах. Все аксиомы евклидовой геометрии здесь выполняются, кроме аксиомы параллельных, тем самым в этой модели выполняется геометрия Лобачевского.
Опишем эту модель более подробно и докажем сказанное. Берем на обычной евклидовой плоскости какую-нибудь прямую р и ограниченную ею открытую полуплоскость Р. Прямую р назовем граничной прямой. Полуплоскость Р будет играть роль плоскости Лобачевского; мы будем называть ее «плоскостью» в кавычках. Точками в модели будут точки этой «плоскости», т. е. полуплоскости Р. За «прямые» в модели принимаем, во-первых, содержащиеся в Р полуокружности, центры которых лежат на граничной прямой. «Отрезок» АВ в модели - это дуга такой полуокружности с концами A, В.
Подчеркнем, что конец «отрезка» не может быть концом полуокружности, представляющей прямую; ее концы исключены вместе с граничной прямой; «плоскость» - это открытая полуплоскость. Точка «прямой» служит общим началом двух «лучей» - двух дуг полуокружности (с исключенными концами). «Углом» назовем фигуру из двух «лучей» с общим началом, не содержащихся в одной «прямой».
Помимо указанных «прямых» есть еще «прямые» - это полупрямые, перпендикулярные граничной прямой. Они являются пределами рассмотренных полуокружностей. Когда центр полуокружности удаляется по граничной прямой, а полуокружность проходит через данную точку, то она «распрямляется» и в пределе переходит в полупрямую. Поэтому мы дальше будем мыслить указанные полупрямые среди «прямых» модели в качестве полуокружностей, как «полуокружности бесконечного радиуса». Это позволит обойтись без скучных оговорок, касающихся этих полупрямых, причем, однако, следует помнить условность этого и быть готовым проверять утверждения для таких «полуокружностей». («Отрезок» на такой «прямой» - это обычный отрезок, а «лучи» - один обычный луч, другой - отрезок с исключенным концом на граничной прямой.)
Рассмотрим теперь в этой модели те аксиомы, в которые не входит понятие о равенстве отрезков и углов.
Аксиома параллельных для прямых относится к таким аксиомам. В данной модели она явно не выполняется: через точку А, не лежащую на «прямой» а, проходит бесконечно много «прямых», не имеющих с а общих точек.


Все прочие аксиомы, говорящие о связи точек и отрезков или точек и прямых, о взаимном расположении точек и прямых, здесь выполняются. Так, на рисунке указано построение отрезка с данными концами. Далее, возьмем полуокружность, представляющую «прямую» в модели. Проведем прямую  l, касающуюся этой полуокружности и параллельную граничной прямой. Спроектируем полуокружность из ее центра на прямую l. Получим взаимно однозначное, сохраняющее порядок точек, соответствие между точками прямой и полуокружности, т. е. «прямой» модели. Все свойства, выраженные в аксиомах, будут одни и те же. Они также очевидно выполнены на полупрямых, представляющих «прямые» модели. Аксиома деления плоскости также выполняется. «Прямая» - полуокружность - делит плоскость на две области - внутреннюю и внешнюю. Это и будут «полуплоскости» в нашей модели. Из одной в другую нельзя перейти по какой-либо дуге, не пересекая разделяющую их «прямую» - полуокружность.
Остается определить равенство «отрезков» и «углов» так, чтобы выполнялись соответствующие аксиомы. Это мы сделаем, определив «наложение». Сначала определим «отражение в прямой». За «отражение в прямой» примем инверсию в той окружности, полуокружность которой представляет данная «прямая». Если же «прямая» - это полупрямая, перпендикулярная граничной прямой, то «отражением» в ней будет обычное отражение.
«Наложением» в модели называем любую композицию «отражений». «Равными» считаем фигуры, в частности, «отрезки» и «углы», совмещаемые «наложением».
Это определение сразу приводит к выводу: углы, «равные» в модели, равны без кавычек - в обычном смысле. В самом деле, углы при инверсиях сохраняются, т. е. преобразуются в равные, но они «равны» в модели по определению. Обратно: углы, «равные» в модели, - это т.е., которые преобразуются друг в друга «наложениями», т. е. инверсиями, и, стало быть, они равны в обычном смысле.
При инверсии в окружности с центром на граничной прямой эта прямая и полуплоскость Р отображаются на себя. Поэтому содержащаяся в Р полуокружность с центром на граничной прямой отображается на такую же полуокружность. В модели это означает, что при «отражениях» «прямые» переходят в «прямые». Очевидно, что также «лучи» переходят в «лучи» и «отрезки» - в «отрезки».
На этом доказательство того, что в рассмотренной модели выполняется геометрия Лобачевского, заканчивается. Требование аксиомы меньшего отрезка, что в отрезок нельзя уместить ему равный, заведомо Выполняется при том, что уже доказано. Впрочем, доказательство того, что оно выполнено, читатель может провести сам.
Описанную модель плоскости Лобачевского можно еще назвать конформной, поскольку в ней наложения представляются инверсиями - преобразованиями, сохраняющими углы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.    Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия, - Наука, Москва, 1990.
2.    Александров П. С. Что такое неэвклидова геометрия, - УРСС, Москва, 2007.
3.    Делоне Б. Н. Элементарное доказательство непротиворечивости планиметрии Лобачевского, - Гостехиздат, Москва, 1956.
4.    Иовлев Н. Н. «Введение в элементарную геометрию и тригонометрию Лобачевского». - М.-Л.: Гиз., 1930. - С. 67.
5.    Клейн Ф. «Неевклидова геометрия». - М.-Л.: ОНТИ, 1936. - С. 356.
6.    Лобачевский Н. И. «Геометрические исследования по теории параллельных линий». - 1941.
7.    Лобачевский Н. И., Полн. собр. соч., т. 1-3, М. - Л., 1946-51;
8.    Основные классические работы. Евклид, Начала, пер. с греч., кн. 1-15, М. - Л.,1948-50;
9.    Погорелов А. В., Элементарная геометрия, М., 1969.
10.    Попов А.Г. «Псевдосферические поверхности» // Соросовский образовательный журнал. - ISSEP, 2004. - Т. 8. - № 2. - С. 119-127.
11.    Самаров К., Уроев В. «Модель Пуанкаре». - Журнал «Квант». - 1984 год. - номер 6.
12.    Смогоржевский А. С. «О геометрии Лобачевского» // Популярные лекции по математике. - Гостехиздат, 1958. - Т. 23. - С. 68.
13.    Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, - Физматлит, Москва, 2009.
14.    Элементарная геометрия. Адамар Ж., Элементарная геометрия, пер. с франц., ч. 1, 3 изд., М., 1948, ч. 2, М., 1938;